Matemática básica Ejemplos

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Divide $b + 9$ por $1$ .

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Paso 1.2

Factoriza $b^{2} + b - 6$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 2

Para escribir $b$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina $b$ y $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(b - 2) (b + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.2.2

Resta $2 b$ de $3 b$ .

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Multiplica $b$ por $b^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $b$ por $b^{2}$ .

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Paso 4.4.1.1.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.4.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.4.3

Mueve $- 6$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 4.5

Factoriza $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.5.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 4.5.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 4.5.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.5.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Paso 4.5.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Paso 4.5.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

Paso 4.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

Paso 4.5.3.5

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$2 - 6 + 4$

Paso 4.5.3.6

Resta $6$ de $2$ .

$- 4 + 4$

Paso 4.5.3.7

Suma $- 4$ y $4$ .

$0$

Paso 4.5.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $b - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

Paso 4.5.5

Divide $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ por $b - 1$ .

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Paso 4.5.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

Paso 4.5.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $b^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $b$ .

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

Paso 4.5.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

Paso 4.5.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $b^{3} - b^{2}$ .

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

Paso 4.5.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

Paso 4.5.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Paso 4.5.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 b^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Paso 4.5.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

Paso 4.5.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 b^{2} - 2 b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

Paso 4.5.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

Paso 4.5.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Paso 4.5.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 b$ por el término de mayor orden en el divisor $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Paso 4.5.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

Paso 4.5.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 b + 4$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

Paso 4.5.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

Paso 4.5.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$b^{2} + 2 b - 4$

Paso 4.5.6

Escribe $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ como un conjunto de factores.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Paso 5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combina $9$ y $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Expande $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Multiplica $b$ por $b^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $b$ por $b^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.3

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1

Mueve $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.5

Reescribe $- 1 b^{2}$ como $- b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.3

Resta $b^{2}$ de $2 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.4

Resta $2 b$ de $- 4 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.6

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.7

Expande $(9 b - 18) (b + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.8.1.1

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 7.8.1.1.1

Mueve $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.8.1.1.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.8.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.8.1.3

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.8.2

Resta $18 b$ de $27 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.9

Suma $b^{2}$ y $9 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.10

Suma $- 6 b$ y $9 b$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Paso 7.11

Resta $54$ de $4$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$